Na svět přišel v městě Charles City, ležícím v americkém státě Iowa, ale za své rodné město považuje Willmar v Minnesotě, kde navštěvoval střední školu. Ukončil ji roku 1968 a v dalším studiu pokračoval na vysoké škole Harvey Mudd College v Claremontu. Zde o čtyři roky později získal bakalářský titul z fyziky. Nelsonovy další kroky vedly do Seattlu, kde navštěvoval Washingtonskou univerzitu. Na této škole postupně získal magisterský (1974) a doktorský (1978) titul.
Poslední zmíněný titul získal z astronomie a té se věnoval na několika místech. Na Národní sluneční observatoři v Sacramentu (Nové Mexiko) zkoumal sluneční skvrny, podílel se na pracích Astronomického ústavu v Utrechtu (Nizozemsko), observatoře při Univerzitě v Gotinkách (Německo) a také spolupracoval s Ústavem pro laboratorní astrofyziku v Boulderu (Colorado).
V lednu 1978 byl vybrán NASA jako kandidát na astronauta. Podílel se například na vývoji skafandru, určeného pro výstupy do volného kosmického prostoru nebo snímkoval raketoplán Columbia z doprovodného letadla během jeho první kosmické mise. Byl také členem podpůrných posádek při prvních letech raketoplánů a hlavním spojařem, komunikujícím s posádkou.
Poprvé se do kosmického prostoru vydal 6. dubna 1984 na palubě raketoplánu Challenger. Mise měla dva hlavní cíle – vypustit družici LDEF a provést opravu družice SMM. Obojí proběhlo úspěšně a navíc se posádka stala účastníkem nového rekordu. V době od 6. do 11. dubna se po oběžné dráze poprvé v historii pohybovalo současně 11 kosmonautů.
Druhý kosmický let vykonal Nelson v lednu 1986 raketoplánem Columbia a jednalo se o poslední let před tragédií Challengeru. Během mise byla vypuštěna telekomunikační družice RCA Satcom Ku-1 a prováděly se další experimenty.
Potřetí a naposledy se Nelson na oběžnou dráhu dostal na přelomu září a října 1988 raketoplánem Discovery. Tentokrát se pro změnu jednalo o první americký kosmický let po zmíněné havárii a prověřovaly se všechny změny, které byly na kosmickém plavidle provedeny. Také došlo k vypuštění družice TDRS-C.
Roku 1989 Nelson opustil NASA a začal působit na Washingtonské univerzitě, kde se podílel na jejím vedení a vyučoval astronomii. V kosmickém prostoru strávil celkem více než 17 dní.
