Narodil se v moravském městečku Velká Bíteš, mládí však strávil v Pardubickém kraji, v obci Vendolí nedaleko Svitav. Protože jej silně zaujala astronomie, rozhodl se získat v tomto oboru odborné vzdělání. Po splnění patřičných náležitostí ji začal studovat na Karlově univerzitě v Praze. Závěrečné zkoušky úspěšně složil roku 1969 a stal se z něj promovaný astronom.
Prvním místem, kam nastoupil po ukončení studia, byla Hvězdárna a planetárium Brno. Zde se podílel na programech vizuálního sledování meteorů a proměnných hvězd. Vynikl zejména v druhém zmíněném, neboť ten vedl a Brno se postupně stalo centrem pro pozorování proměnných zákrytových dvojhvězd pro celé tehdejší Československo. Později se dokonce program rozšířil přes hranice a stal se populární i v zahraničí.
V 70. letech Šilhán přesídlil na Hvězdárnu a planetárium v Českých Budějovicích, kde prováděl mimo jiné fotografování vybraných objektů na observatoři Kleť. Současně zasvěcoval do tajů astronomie veřejnost v budějovickém planetáriu. Po několika letech však musel toto místo opustit kvůli konfliktům s tehdejším vedením.
Roku 1976 zakotvil ve Ždánicích, kde působil celkem jedenáct let. Pracoval v Domě dětí a mládeže, na místní hvězdárně a ještě v podniku Nářadí jako překladatel. Při této práci zúročil své bohaté znalosti cizích jazyků. Zasloužil se o to, že se ve Ždánicích začala pořádat letní praktika zaměřená na pozorování proměnných hvězd.
Roku 1987 se Šilhán vrátil na hvězdárnu do Brna a pokračoval zde v programu pozorování proměnných hvězd. Zároveň měl na starosti knihovnu, jak pro odborné pracovníky, tak i pro veřejnost. Přivydělával si také jako učitel matematiky a fyziky.
Zastával funkce i v České astronomické společnosti. Byl hospodářem Sekce pozorovatelů proměnných hvězd a časem i v nově založené Sekci pro temné nebe.
Bohužel astronomická pozorování se negativně podepsala na jeho zdraví. Dlouhá léta trpěl revmatismem a později se přidaly i komplikace s ledvinami. Jindřich Šilhán zemřel 10. dubna 2000 ve věku 55 let.
Na jeho počest byla založena Cena Jindřicha Šilhána Proměnář roku, která se uděluje za výjimečné výsledky související s pozorováním proměnných hvězd. Šilhánovo jméno také dostala planetka s číslem 14594.
